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Thème Théorie des jeux

Cours: Introduction à la théorie des Jeux

Pierre Bernhard

Alors que, par exemple, tous les cours d’introduction à la commande optimale ont le même contenu, on peut trouver des livres d’introduction à la théorie des jeux dont l’intersection est vide. L’une est une théorie mathématique, l’autre un fatras mathématique.

Devant ce constat, la difficulté réside dans le choix des sujets à traiter, qui ne s’impose pas. Je choisirai de présenter plus de problématiques que de résultats techniques, sans compltement ignorer ces derniers.

Je me propose de traiter les sujets suivants : ceux entre parenthèses de façon très succinte, ceux entre crochets pas du tout, sauf demande spécifique qui me ferait modifier ce choix.

1 Jeux à deux joueurs et somme nulle, (2 joueurs)
1.1 Jeux statiques
– Minimax, maximin, point selle, théorème de Von Neumann Sion.
– [Lien avec le théorème de Karush Kuhn Tucker.]
– Jeux matriciels, stratégies mixtes.
– (Lien avec la programmation linéaire (Gale).)

1.2 Jeux dynamiques
– Forme normale et forme extensive, stratégies, comportement.
– [Jeux répétés, folk theorem, jeux stochastiques.]
– Jeux dynamiques multiétages comme modèle des jeux en forme extensive et
des jeux stochastiques. Programmation dynamique, équations d’Isaacs et de
Shapley.
– Jeux différentiels à deux joueurs et somme nulle : équation d’Isaacs, solu-
tions de viscosité.

2 Jeux à somme non nulle (N joueurs)
2.1 Jeux non coopératifs
– Équilibre de Cournot Nash, théorèmes de Nash, Debreu, Glicksberg, théorème d’égalisation. [Équilibres corellés.]
– Élimination des stratégies dominées. [Stratégies rationalisables.]
– (Non unicité et raffinements : l’échec de la théorie des jeux (ou du programme de Von Neumann et Morgenstern).)

– Problèmes d’information imparfaite ou incomplète. Forme d’Harsanyi, équilibre bayesien, signaling et le principe du handicap.
– (Jeux multiétages à somme non nulle : Kolomogorov, Kuhn, Isaacs et Bellman)
– (Jeux différentiels à somme non nulle : équations d’ Isaacs Bellman Case.)

2.2 Jeux coopératifs (ou à utilité transférable : TUG)
– [Coalitions et fonction caractéristique.]
– [Imputations, coeur, Valeur de Shapley et autres concepts.]

3 Jeux évolutionnaires (Infinité de joueurs : jeux anonymes)
– Équilibre de Wardrop et E.S.S. Lien avec Nash.
– Équation de réplication, comportement asymptotique.
– [Apprentissage, autres dynamiques.]

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Jeux écologiques

Jean-Olivier Irisson

L'objectif de cet exposé sera d'illustrer le cours de la matinée par des exemples d'application de la théorie des jeux choisis dans le domaine de l'écologie. L'étude du comportement des animaux (l'éthologie) révèle parfois des comportements en apparence inexplicables au niveau évolutif car ils désavantagent l'individu et semblent ainsi aller à l'encontre de la selection naturelle. La théorie des jeux permet souvent d'aborder les relations coût-bénéfice de ces comportements d'une façon différente, qui met en valeur leur pertinence évolutive. Nous verrons ainsi comment des jeux classiques tel que le dilemme du prisonnier permettent d'expliquer l'existence de la territorialité ou de l'altruisme.

Jeux économiques

Gilles Rotillon

L'économie a eu un recours intensif à la théorie des jeux et il n'est pas pensable d'en donner une idée exhaustive en une heure. On se contentera d'en donner un exemple d'application à la modélisation des négociations internationales sur le climat et de conclure sur une interrogation de la pertinence de son utilisation en économie.

Carbon tax and Opec's rents under a ceiling constraint

Remy Dullieux

Studying a differential non cooperative game between a coalition of buyers of oil and a coalition of sellers of oil, when a carbon tax is set by the consumers' area. Both players play Markov strategies, in a framework where the environmental constraint is described by a ceiling on the stock of pollution and not by a damage function. A Market Perfect Nash Equilibrium (MPNE) is looked for, the solution is described and compared to benchmark situations (open-loop equilibrium, optimal equilibrium and cartel equilibrium).

Évolution et jeux

Andrei Akhmetzhanov

Aparté "Épidémiologie"

La technique de l'insecte stérile. Application en épidémiologie

Yves Dumont

En 2006, L'île de la Réunion a connu une forte épidémie de Chikungunya. Ce virus est transmis par un vecteur, Aedes albopictus, très présent sur l'île. En 2006, les autorités sanitaires ont eu recours à la lutte chimique pour "stopper" l'épidémie. Régulièrement, des traitements chimiques sont appliqués pour contrôler la population de moustique ou lorsqu'un cas positif de Chikungunya ou de Dengue est diagnostiqué. La Deltamethrin (adulticide), le Bti (larvicide) , et la lutte mécanique (réduction des gîtes larvaires) sont les principaux outils de la lutte anti-vectorielle à la Réunion et dans les Doms.... Malheureusement, les moustiques peuvent développer des résistances, comme c'est le cas actuellement à la Martinique, ce qui est problématique en cas d'épidémie. Une étude a donc été lancé conjointement par le Ministère de la Santé, l'Agence Internationale de l'Energie Atomique la Région Réunion et l'Union Européenne afin d'étudier la faisabilité de la Technique d'Insecte Stérile (projet TIS) comme outil de lutte biologique contre le moustique et ainsi contrôler ou stopper de futures épidémies. Nous présentons la Technique de l'Insecte Stérile (et ses variantes), le modèle que nous considérons, les résultats préliminaires, une comparaison avec une étude mathématique, déjà publiée, sur les outils de lutte chimique... et les perspectives.

Evolutionary insights from semi-discrete plant epidemic models

Frédéric Hamelin

Voir PDF joint.

Thème Dynamique et temps

Cours: Dynamique et anticipations

Stéphane Gauthier

Cours: Time, Bifurcations and Economic Applications.

Stefano Bosi

We show how to recover classical discrete-time economic models from their continuous-time versions through Euler discretizations.

In the first part, we introduce general polynomial discretizations in backward and forward looking. We introduce the taxonomy of the main elementary local bifurcations and we study the preservation of stability properties and local bifurcations under different discretizations.

In the second part, we apply these results to popular growth models. We show how to reconcile the traditional Solow models in discrete and continuous time through a backward-looking discretization. Discrete-time models of endogenous saving, such as Ramsey (1928), need hybrid discretizations of the continuous-time model because of the forward-looking nature of the Euler equation. The introduction of externalities allows us to illustrate the preservation of stability properties and local bifurcations.

De l'utilité des modèles théoriques en économie

Gilles Rotillon

La récente crise financière a relancé le débat sur l'autisme des économistes perdus dans le monde enchanté de leurs modèles. On se propose de montrer que certains de ces modèles peuvent être utiles, à condition de bien les interpréter.

Thème Gestion du risque

Cours: Principe de précaution

Nicolas Treich

Dans quelle mesure un contexte de plus forte incertitude scientifique justifie-t-il l'intensification des mesures de réduction de risque ? Nous présentons et comparons deux modèles de décision en économie qui permettent d’étudier cette question. Le premier modèle est un modèle standard de valeur d’option. Ce modèle bayésien permet de définir une règle de décision séquentielle qui tient compte des opportunités d’information future et de la flexibilité inhérente à chacune des décisions. Le deuxième modèle est un modèle non-bayésien dit d’aversion à l’ambiguïté. Dans ce modèle moins standard, l’incertitude scientifique n’est plus représentée par l’arrivée d’information, mais par la coexistence de croyances différentes. Nous présentons les problèmes pratiques et conceptuels induits par les deux approches, et étudions les implications pour l’analyse coût bénéfice et les pratiques courantes d’analyse du risque.

Impact d'un risque

Patrice Loisel

Viabilité stochastique

Michel de Lara

Je montrerai comment les problèmes de contrôle sous contraintes (viabilité) peuvent s'étendre du cadre déterministe au cadre stochastique. Je présenterai des applications à la gestion des ressources naturelles (ici, la pêche) sous des contraintes conflictuelles de maintien biologique d'une population et de production minimale.

Viabilité en épidémiologie

Michel de Lara

En épidémiologie mathématique, il est courant de modéliser la propagation d'une infection en partionnant les populations (humaines ou animales) en compartiments : susceptibles, infectés, guéris, etc. Une équation différentielle décrit alors la dynamique de l'évolution de l'infection entre ces compartiments. Une quantité importante est le "basic reproduction number" (R₀) qui dépend des paramètres comme les taux de contact, de mortalité, etc. De nombreux travaux établissent que, lorsque R₀ < 1, le nombre d'infectés tend vers zéro avec le temps. Différents modes de gestion de la propagation de l'infection -- mise en quarantaine, élimination de vecteurs (moustiques, etc.), etc. -- sont alors comparés quant à leur impact sur la valeur de R₀.